Higgs 类目与库仑类目 $\mathcal{O}$ 之间的 Koszul 二义性

我们证明了关于量化库仑分支（由 Braverman、Finkelberg 和 Nakajima 定义）附属于群 $G$ 和表示 $V$ 的重模块范畴与 $G$-等变 $D$-模范畴（作用于向量空间 $V$ 上的向量空间）之间的 Koszul 二义性定理。通过将这两个范畴关联到一个显式、组合论呈现的范畴来完成证明。这些范畴与广义 $\mathcal{O}$ 类目有关，这些类目对应于符号奇异点。让 $\mathcal{O}_{\operatorname{Coulomb}}$ 和 $\mathcal{O}_{\operatorname{Higgs}}$ 分别是与 $V$ 和 $G$ 相关的库仑分支和希斯子分支对应的这两个类目，我们得到了一个从一个的 Koszul 双范畴到另一个的函子 $\mathcal{O}_{\operatorname{Coulomb}}^!\to \mathcal{O}_{\operatorname{Higgs}}$。在 $T^*V$ 除以 $G$ 的 hyperk"ahler 商为 Nakajima 谱图 variety 或光滑 hypertoric variety 的特殊情况下，这个函子是等价的。这包括了类型 A 中的抛物线-奇异 Koszul 二义性、Chuang 和 Miyachi 提出的范畴等价性（由 Shan、Vasserot 和 Varagnolo 证明）以及 Braden、Licata、Proudfoot 和作者所证明的 hypertoric Koszul 二义性。我们还展示了这种等价性如何与所谓的扭转和混洗函子相互作用。这结合了讨论的二义性，确认了 Braden、Licata、Proudfoot 和作者在此情形下的对称性二义性猜想的最重要组成部分。