Hamilton-Jacobi方程的定量紧致性估计

我们研究映射$S_t$（$t>0$）在$\mathbf{W}^{1,1}_{loc}$中的定量紧致性估计，该映射将每个给定初始数据$u_0\in Lip(\mathbb{R}^N)$与Hamilton-Jacobi方程$$u_t+H\big(\nabla_{/!x} u\big)=0\,, \qquad t\geq 0,\quad x\in \mathbb{R}^N,$$的解$S_t u_0$相关联，其中Hamiltonian $H=H(p)$一致凸。我们给出了有界紧支撑初始数据集合通过映射$S_t$的像在$\mathbf{W}^{1,1}$中的Kolmogorov $\varepsilon$-熵的上界和下界估计，阶为$1/\varepsilon^N$。这类估计受P.D. Lax在守恒律背景下提出的问题启发，可为该方程数值方法的“分辨率”阶提供度量。