依赖于空间的哈密顿-雅可比方程的紧性估计

我们研究对于映射 $S_t$（$t>0$）在 $\mathbf{W}^{1,1}_{loc}$ 中的紧性定量估计，该映射将每个给定初值 $u_0\in \mathrm{Lip}(\mathbb{R}^N)$ 关联到哈密顿-雅可比方程 $$u_t+H\big(x, \nabla_{\!x} u\big)=0\,, \qquad t\geq 0,\quad x\in \mathbb{R}^N,$$ 的相应解 $S_t u_0$，其中哈密顿量 $H=H(x,p)$ 为凸且强制的。我们对有界、紧支撑初值集合通过映射 $S_t$ 的像在 $\mathbf{W}^{1,1}$ 中的 Kolmogorov $\varepsilon$-熵给出了阶为 $1/\varepsilon^N$ 的上界和下界。如 P.D. Lax 所建议，紧性的定量估计可为此方程所实现数值方法的“分辨率”与“复杂度”的阶提供度量。我们通过推导当初值半凸时粘性解的 Lipschitz、半凹和半凸常数的精确先验界，建立了这些估计。小时间能控性结果的推导对于建立 $\varepsilon$-熵的下界也是基础的。