二次型、实零点与谱作用的回声

对于区间 $[0,L]$ 上的实分布 $\mathcal{D}$，记其在区间 $[-L, L]$ 上的关联偶分布为 $\tilde{\mathcal{ D}}$。我们证明：若二次型的范数化核为 $\tilde{\mathcal{D}}(x - y)$ 的关联二次型在 $L^2([-\frac{L}{2}, \frac{L}{2}])$ 上定义为下界自伴算子，且其最低谱值 $\lambda$ 为简单、孤立特征值，伴随偶函数特征函数 $\xi$，则整个函数 $\widehat \xi(z)$（即 $\xi$ 的傅里叶变换）的所有零点均位于实数轴上。该证明分为五个步骤：(1) 我们给出卡拉西奥多-费耳尔1911年Toeplitz矩阵结构定理的一个推论的C*-代数证明：若 $T \in M_n(\mathbb{C})$ 为秩为 $n - 1$ 的厄米积性正半定Toeplitz矩阵，且 $\xi \in \ker T$，则多项式 $P(z) = \sum \xi_j z^j$ 的所有零点均位于单位圆上。(2) 我们形式化并证明该结果的连续类比，将Toeplitz矩阵替换为具有连续核 $h(x - y)$ 的卷积算子，将多项式 $P(z)$ 替换为对应最大特征值特征函数的傅里叶变换。(3) 我们分析由实偶分布 $\mathcal{D}$ 在 $[-L, L]$ 上定义的二次型在 $[-L, L]$ 上的有限维截断，观察到所得矩阵 exhibits一种此前在谱作用的扰动展开中遇到的结构。(4) 我们为具有此特定结构的矩阵建立卡拉西奥多-费耳尔推论的类比，从而将零点局化结果扩展到经典Toeplitz情形之外。(5)最终，我们运用Hurwitz关于均匀holomorphic函数零点极限的经典定理，推导出上述一般结果。