随机热方程解的二次协变差

设 $u(t,x)$ 为随机热方程 $$\frac{\partial}{\partial t}u=\frac12\frac{\partial^2}{\partial x^2}u+\frac{\partial^2}{\partial t\partial x}X(t,x),\quad t\geq 0, x\in {\mathbb R}$$ 在初始条件 $u(0,x)\equiv 0$ 下的解，其中 $X$ 为时空白噪声。本文试图研究解 $u(t,x)$ 的随机分析问题。事实上，该解是一个高斯过程，使得对每个实数 $x$，过程 $t\mapsto u(t,\cdot)$ 是一个双分数布朗运动，看起来像是赫斯特指数 $H=\frac14$ 的分数布朗运动。然而，过程 $x\mapsto u(\cdot,x)$ 的性质未知。本文我们考虑两个过程 $x\mapsto u(\cdot,x),t\mapsto u(t,\cdot)$ 的二次协变差。我们证明 $x\mapsto u(\cdot,x)$ 具有非平凡的有限二次变差，且某些适应过程关于它的前向积分与“伊藤积分”一致，但它不是半鞅。此外，引入了某些广义伊藤公式和 Bouleau-Yor 恒等式。