q-Wiener 与 (α,q)-Ornstein-Uhlenbeck 过程：已知过程的推广

我们收集了文献中散见的、并证明了两个马尔可夫过程的若干新性质，它们在多方面类似于 Wiener 与 Ornstein–Uhlenbeck 过程。尽管本文所考虑的过程或在非交换概率语境中、或通过二次套索（quadratic harnesses）定义，我们仍将其重新定义为某简单、对称、离散时间过程的“连续时间”推广，该离散过程满足对其前两个条件矩形式施加的简单条件。第一个过程（记为 X=(X_t)_{t≥0}，称为 q-Wiener）的有限维分布依赖于一个参数 q∈(-1,1]，第二个过程（记为 Y=(Y_t)_{t∈R}，称为 (α,q)-Ornstein–Uhlenbeck）依赖于两个参数 (α,q)∈(0,∞)×(-1,1]。第一个过程在 q=1 时即为 Wiener 过程，且在 |q|<1 与 ∀n≥1 时 t^{n/2}H_n(X_t/√t|q)（其中 (H_n)_{n≥0} 为所谓 q-Hermite 多项式）为鞅，从而类似于 Wiener 过程；但它既无独立增量，也不容许连续样本轨道修正。第二个过程类似于 Ornstein–Uhlenbeck 过程：q=1 时为经典 OU 过程；|q|<1 时亦为平稳的，其相关函数等于 exp(-α|t-s|)，并具有许多类似其经典版本的性质。我们认为这些过程是引人入胜的研究对象，提出了许多有趣的开放问题。