具有中等长程型势的薛定谔方程的奇点传播

在第二作者之前的一篇论文中，我们利用 Hamilton-Jacobi 方程的解讨论了具有长程型微扰的薛定谔方程解的微观局部奇点的刻画。在本文中，我们表明如果微扰满足稍强的条件，可以使用 Dollard 型近似解来求解 Hamilton-Jacobi 方程。作为应用，我们描述了当势在 $|x|\to\infty$ 时渐近齐次时，$e^{itH_0}e^{-itH}$ 的微观局部奇点传播，其中 $H$ 是我们的薛定谔算子，$H_0$ 是自由薛定谔算子，即 $H_0=-\frac12 \triangle$。我们证明了如果势 $V$ 是 1 阶渐近齐次的，则 $e^{itH_0}e^{-itH}$ 会移动波前集；而如果 $V$ 是 $\beta\in (1,3/2)$ 阶渐近齐次的，则 $e^{itH}e^{-itH_0}$ 具有平滑化作用。