具有大振幅随机势的薛定谔方程收敛于随机偏微分方程

我们研究具有大振幅、高频振荡随机势的薛定谔方程解的渐近行为。在维数 $d<\mathfrak{m}$ 的情况下（其中 $\mathfrak{m}$ 是薛定谔方程中主导算子的阶数），我们利用 Duhamel 展开构造非均匀解，并证明当相关长度 $\varepsilon$ 趋于 0 时，该解在分布意义上收敛于一个随机微分方程的解，其解表示为空间 $C([0,+\infty),\mathcal{S}')$ 上迭代 Stratonovich 积分的和。通过验证薛定谔方程的质量守恒性质，证明了极限解在 $L^2(\Omega\times\mathbb{R}^d)$ 的稠密子空间中的唯一性。在维数 $d>\mathfrak{m}$ 的情况下，文献\cite{ZB-12} 已证明薛定谔方程的解在 $L^2(\Omega\times\mathbb{R}^d)$ 中收敛于确定性薛定谔解。