关于 Schrödinger 型差分方程解在无穷远处的行为

我们就离散 Schrödinger 方程解在无穷远处的行为提供了多种视角。首先，我们研究了一对离散 Schrödinger 方程，其势函数之差在索引 $n \rightarrow \infty$ 时在适当意义上可视为小量。在对原系统解的增长率做简单假设的前提下，我们利用常数变易法构建了一个收敛迭代，用原方程的解表示第二个方程的解，从而证明了扰动系统拥有一组在无穷远处具有相同行为的基本解集。我们利用解集之间的关系推导了解的二分性并阐明了转移矩阵的结构。随后，我们提出了 Liouville-Green (WKB) 变换的一个精确离散类比，通过显式构造一个可应用我们扰动结果的比较方程，使得推导单个差分方程在无穷远处的指数行为成为可能。此外，我们指出了 Green 矩阵的对角部分与解的渐近行为之间的精确关系。利用这两种工具，可以识别出一种 Agmon 度规，在某些情况下，任何递减解必须按指数方式递减。附录中讨论了离散 Schrödinger 问题及其与实轴上正交多项式的联系。