薛定谔方程的Gabor分析与奇性传播

我们考虑薛定谔方程 \begin{equation*} i \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} +Hu=0,\quad H=a(x,D), \end{equation*} 其中哈密顿量 $a(z)$, $z=(x,\xi)$, 假定为实值且光滑，具有有界导数 $|\partial^\alpha a(z)|\leq C_\alpha$，对于每个 $|\alpha|\geq 2$，$z\in\mathbb{R}^{2d}$。对于此类方程，关于 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 中初值的柯西问题适定性以及传播子 $e^{it H}$ 借助傅里叶积分算子的局部表示已有已知结果。在本文中，我们给出了 $e^{itH}$ 基于Gabor分析的全局表达式，并推导了其在调制空间中的有界性。此外，通过使用时频技术，我们获得了 $e^{itH}$ 的微奇性传播结果。