Ginibre 系综研究进展 II：GinOE 与 GinSE

本文是关于 Ginibre 于 1965 年引入的三类随机非厄米高斯矩阵综述的第二部分。第一部分仅限于关注复元素情况下的 GinUE（Ginibre 酉系综），而本部分则考虑实元素情况（GinOE，表示 Ginibre 正交系综）和表示为 $2 \times 2$ 复块的四元数元素情况（GinSE，表示 Ginibre 辛系综）。GinOE 和 GinSE 的特征值均形成 Pfaffian 点过程，这比 GinUE 产生的行列式点过程更为复杂。尽管如此，许多阻碍该理论传统方面发展的障碍现已被克服，同时新的理论方面和新的应用也已被识别。这使得我们能够对复数情况下同样涉及的主题进行全面阐述：特征值概率密度函数与相关函数、相关函数的极限公式、涨落公式、求和规则、间隙概率和特征向量统计等。与复数情况不同的是，需要发展一套与 Pfaffian 相关的斜交内积所对应的斜交正交多项式理论。另一个独特的主题是实特征值的统计，这是 GinOE 独有的。这些出现在该理论的许多应用中，这些应用来自诸如统计物理中的扩散过程与持久性、某些量子点的拓扑驱动参数能级交叉，以及随机非线性微分方程系统的平衡点计数等不同领域。