GUE 的奇异值（少即是多）

一些名义上涉及高斯酉系综（GUE）特征值的性质，可以改用奇异值来表述。通过舍弃特征值的符号，我们获得了一个令人惊讶的分解：GUE 的奇异值分布为两个独立的 Laguerre 型系综的奇异值之并。鉴于众所周知的特征值排斥现象，这种独立性显得非同寻常。该分解的结构揭示，关于 GUE 大$n$极限的若干现有观察结果，实际上是有限随机矩阵中已存在现象的表现。我们通过将 Hermite 多项式与参数为$\pm$1/2 的广义 Laguerre 多项式相联系，将半圆律与四分之一圆律联系起来。类似地，我们将$n\times{}n$GUE 行列式的绝对值写为$n$个独立随机变量的乘积，从而对其渐近对数正态性获得新的见解。该分解还提供了 GUE 最小奇异值分布的描述，进而允许研究 GUE 矩阵条件数的主阶行为。本研究由涉及可定向映射枚举的问题所驱动，并与涉及复 Ginibre 矩阵幂次的问题相关。这项工作不可避免的结论是：GUE 的奇异值扮演着一种不可预测的重要角色，尽管事后看来线索比比皆是，但这一角色数十年来一直未被察觉。