四元数 Ginibre 系综的对称性

我们建立了四元数 Ginibre 系综（QGE）的特征值与特征向量的若干性质，类似于复 Ginibre 情形中已知的结果。我们首先重新得到了 Rider 已经注意到的 Kostlan 定理的一个版本：特征值的平方半径之集合分布为一组独立的 gamma 变量。我们的证明技术使用了 De Bruijn 恒等式与 Pfaffian 的性质；它也能证明这些特征值的高次幂是相互独立的。只要径向对称性成立，这些结果可推广到高斯情形之外的任意势；这包括但不限于四元数酉矩阵的截断、四元数 Ginibre 矩阵的乘积，以及四元数球面系综。随后我们研究四元数 Ginibre 矩阵的特征向量。特征向量之间的夹角与重叠矩阵都展现出一些可与复情形相比较的特定特征。特别地，我们计算了在条件化为零的特征值所对应的对角重叠的分布与极限。