复对称、自对偶和 Ginibre 随机矩阵：三类体统计和边缘统计的解析结果

最近，基于数值结果提出了一个关于复特征值局部体统计的猜想。该猜想声称仅存在三个普适类，这些类均已在开放混沌量子系统中被观测到。受这些新见解的启发，我们计算并比较了代表这三个类的三种高斯非厄米随机矩阵系综中 $k$ 对复共轭特征多项式的期望值：著名的复 Ginibre 系综、复对称矩阵和复自对偶矩阵。在非厄米随机矩阵的 Cartan 分类方案中，它们分别被标记为 A 类、AI$^\dag$ 类和 AII$^\dag$ 类。利用 Grassmann 变量技术，我们推导了有限维和无限维矩阵情况下单对期望特征多项式的显式表达式。对于后者，我们考虑了全局极限以及聚焦于谱的边缘和体部，为 AI$^\dag$ 类和 AII$^\dag$ 类提供了新的解析结果。对于一般的 $k$，我们推导了相应物理系统中非线性 $\sigma$ 模型的有效拉格朗日量。有趣的是，这三个系综的有效拉格朗日量一致，而必须在其上进行剩余积分的相应 Goldstone 流形则不同，并且在体部等于三个经典紧致群。特别是，我们的解析结果表明这三个系综确实具有不同的局部体谱和边缘谱统计，进一步证实了该猜想。