半代数秩一情况下的 Pro-$p$ Iwahori-Hecke 模块与奇点范畴

设 $\mathfrak{F}$ 为剩余特征为 $p$ 的非阿贝尔局部域，$G$ 为 $\mathrm{GL}_2(\mathfrak{F})$、$\mathrm{SL}_2(\mathfrak{F})$ 或 $\mathrm{PGL}_2(\mathfrak{F})$ 中的一个群。设 $\mathcal{H}_G$ 为 $G$ 相对于 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上的 pro-$p$ Iwahori-Hecke 代数。我们研究 $\mathcal{H}_G$-模范畴中 Hovey 的 Gorenstein 投影模型结构的 homotopy 范畴 $\mathrm{Ho}(\mathcal{H}_G)$，并将其与显式 scheme 的奇点范畴 $\mathrm{Sing}(X_{q,\mathbf{G}})$ 关联。当 $G=\mathrm{GL}_2(\mathfrak{F})$ 时，该 scheme 首次由 Dotto-Emerton-Gee 引入。我们在该情况下获得等价 $\mathrm{Ho}(\mathcal{H}_{\mathrm{GL}_2})\simeq\mathrm{Sing}(X_{q,\mathrm{GL}_2})$，并从此恢复 Grosse-Kl"onne 对 Hecke 模块的模 $p$ Langlands 对应关系，深化了 P\'epin-Schmidt 的工作。我们进一步完整地显式地描述了当 $G=\mathrm{SL}_2(\mathfrak{F})$ 或 $\mathrm{PGL}_2(\mathfrak{F})$ 时的 $\mathrm{Ho}(\mathcal{H}_G)$，并在 GL$_2$ 情形下进行额外计算。