$GL_2(\mathbb{Q}_p)$ 的半单模 $p$ Langlands 对应族的构造

本文是 arXiv:2007.01364v1 的续作。设 $F$ 为任意剩余特征 $p>0$ 的局部域，$\mathcal{H}^{(1)}_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 为 $\mathbf{GL_2}(F)$ 的模 $p$ pro-$p$-Iwahori Hecke 代数。在 arXiv:2007.01364v1 中，我们已构造了 $\mathcal{H}^{(1)}_{\overline{\mathbb{F}}_p}$-模由某些 $\widehat{\mathbf{GL_2}}(\overline{\mathbb{F}}_p)$-Satake 参数给出的参数化，以及一族反球面的 $\mathcal{H}^{(1)}_{\overline{\mathbb{F}}_p}$-模。此处令 $F=\mathbb{Q}_p$（且 $p\geq 5$），并构造从 $\widehat{\mathbf{GL_2}}(\overline{\mathbb{F}}_p)$-Satake 参数到 $\widehat{\mathbf{GL_2}}(\overline{\mathbb{F}}_p)$-Langlands 参数的态射。由此，我们得到了 Breuil 关于 $\mathbf{GL_2}(\mathbb{Q}_p)$ 的半单模 $p$ Langlands 对应以及 Pa\v{s}k\={u}nas 关于具有中心特征的 $\mathbf{GL_2}(\mathbb{Q}_p)$ 模 $p$ 局部可容许光滑表示范畴的块之参数化在族中的版本。这些结果的表述得益于 Emerton-Gee 的 Galois 群 ${\rm Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p/ \mathbb{Q}_p)$ 的半单 $\widehat{\mathbf{GL_2}}(\overline{\mathbb{F}}_p)$-表示模空间。