关于GL_2的mod p上同调：非半单情形

设$F$为一个在所有位于$p$之上的位均不分歧的全实域，$D$为一个在无穷位中要么全不分裂、要么恰在一个无穷位分裂的四元数代数。设$\bar{r}:\mathrm{Gal}(\bar{F}/F)\to \mathrm{GL}_2(\bar{\mathbb{F}}_p)$为一个连续不可约表示，其在固定位$v|p$处的限制是非半单且充分一般的。在一些温和假设下，我们证明在对应于$D$的Shimura簇的mod $p$上同调的Hecke特征空间中出现的$\mathrm{GL}_2(F_v)$的可容许光滑表示具有Gelfand-Kirillov维数$[F_v:\mathbb{Q}_p]$。我们还证明任意这样的表示均可由其关于第一主同余子群的不变量子空间作为$\mathrm{GL}_2(F_v)$-表示生成。若进一步有$[F_v:\mathbb{Q}_p]=2$，我们证明此类表示的长度为$3$，证实了Breuil与Paškūnas的一个推测。