关于$\mathbb{Q}_p$上四元数代数的某些模$p$表示

设$F$为$p$非分歧的全实域，$B$为至多在一个无穷位分裂的四元数代数。令$\overline{r}:\mathrm{Gal}(\overline{F}/F)\to \mathrm{GL}_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$为满足Taylor-Wiles假设的模$p$ Galois表示。假设对某个固定的位$v|p$，$B$在$v$处分歧且$F_v$同构于$\mathbb{Q}_p$，并且$\overline{r}$在$v$处为一般的。我们证明由对应于$B$的Shimura簇的模$p$上同调导出的$\mathbb{Q}_p$上四元数代数的可容许光滑表示的Gelfand-Kirillov维数为$1$。作为应用，我们证明二阶Scholze函子在$\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$的超奇异表示上消失。我们还证明了关于可约情形下Scholze函子像的一些更精细的结构定理。