私有信息投递

我们引入私有信息投递（PID）问题，其由 $K$ 条消息、一个用户和 $N$ 个服务器（每个持有 $M\leq K$ 条消息）组成，这些服务器希望向用户私密地投递 $K$ 条消息中的一条，即不向用户泄露所投递消息的索引。PID 的信息论容量 $C$ 定义为每向用户传输一比特总通信所能私密投递的所需消息比特数的最大值。对于具有 $K$ 条消息、$N$ 个服务器、每服务器存储 $M$ 条消息且 $N \geq \lceil \frac{K}{M} \rceil$ 的 PID 问题，我们给出了速率为 $1/\lceil \frac{K}{M} \rceil$ 的可达方案，以及速率为 $M/K$ 的信息论逆界，即 PID 容量满足 $1/\lceil \frac{K}{M} \rceil \leq C \leq M/K$。这确定了当 $\frac{K}{M}$ 为整数时 PID 的容量。当 $\frac{K}{M}$ 不为整数时，我们证明若 $N \geq \frac{K}{\gcd(K,M)} - (\frac{M}{\gcd(K,M)}-1)(\lfloor \frac{K}{M} \rfloor -1)$，则 $M/K$ 的逆界速率可达；若 $N = \lceil \frac{K}{M} \rceil$，则 $1/\lceil \frac{K}{M} \rceil$ 的可达速率最优。否则若 $\lceil \frac{K}{M} \rceil < N < \frac{K}{\gcd(K,M)} - (\frac{M}{\gcd(K,M)}-1)(\lfloor \frac{K}{M} \rfloor -1)$，我们给出改进的可达方案，并证明其在若干小设置下的最优性。