具有空间异质 logistic 源的趋化系统中可能的爆破点

我们讨论了在光滑有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ 中形如 \begin{align*} u_t &= \Delta u - \nabla\cdot(u\nabla v) + \kappa(x)u-\mu(x)u^2, 0 &= \Delta v - v + u \end{align*} 的抛物-椭圆趋化-增长系统中 logistic 源项系数的可能空间非均匀性的影响。假设系数函数满足 $\kappa,\mu\in C^0(\overline{\Omega})$ 且 $\mu\geq0$，我们证明经典解的有限时间爆破只能发生在 $\mu$ 为零的点，即爆破集 $\mathcal{B}$ 包含于 \begin{align*} \big\{x\in\overline{\Omega}\mid\mu(x)=0\big\}. \end{align*} 此外，我们表明只要对某个 $x_0\in\overline{\Omega}$ 有 $\mu(x_0)>0$，则可在 $\overline{\Omega}$ 中找到 $x_0$ 的一个开邻域 $U$，使得 $u$ 在整个演化过程中在 $U$ 中保持有界。