引力场下 Euler 方程的正性保持良平衡中心间断 Galerkin 格式

本文针对带重力的 Euler 方程设计并分析了正性保持良平衡（WB）中心间断 Galerkin（CDG）格式。这些格式的一个显著特征是，它们不仅对一般已知的静止水静力学解具有 WB 性质，而且能够保持流体密度与压力的正性。标准 CDG 方法不具备此特征，而将一些现有 WB 技术直接应用于 CDG 框架可能无法同时兼顾正性并保持其他重要性质。为了同时获得 WB 与正性保持性质，同时保持格式的守恒性与稳定性，本文基于对所数值耗散项与源项近似的适当修正，在 CDG 框架中设计了一种新的空间离散方法。这些修正基于一个针对静止水静力学解的关键投影算子，该算子为本文首次提出。这一新颖投影具有与标准 $L^2$-投影同阶的精度，可显式计算，且无需求解任何优化问题便易于实现。更重要的是，它确保投影后的静止解在原网格与对偶网格上具有相同的单元平均值，这是实现我们所期望格式性质的关键。基于若干凸分解技术，对所得 WB CDG 格式进行了严格的正性保持分析。通过若干一维与二维数值算例验证了这些格式的预期性质，包括高阶精度、WB 性质、对涉及低压或低密度模拟的鲁棒性、对间断解的高分辨率以及平衡态附近小扰动的捕捉能力。