超立方体上平方和伪矩的正性保持扩张

我们引入一种新方法，用于从给定的 2 次下界出发，在超立方体 $\mathbf{x} \in \{\pm 1\}^N$ 上构建更高次的平方和下界。我们的方法构造的伪期望在设计上即为半正定，从而减轻了其他 SOS 下界方法（如伪校准）常见的部分技术挑战。我们给出了 2 次伪矩可扩张至更高次的一般“不相干”条件。作为一个应用，我们将先前针对 Sherrington-Kirkpatrick 哈密顿量的下界从 4 次扩展至 6 次。（不过，这被 Ghosh 等人并行工作的更强结果所包含。）这相当于扩展由随机低秩投影矩阵给出的 2 次伪矩。作为我们更高次构造正确的证据，我们还展示了随机高秩投影矩阵（较容易的情形）可扩展至 $\omega(1)$ 次。我们指出了在低秩情形实现同样目标的主要障碍，并猜想尽管我们的构造在首项上保持正确，它也需要一个次首项修正。我们的技术论证涉及两个具独立意义的想法的相互作用。首先，我们的伪矩矩阵按某些多调和多项式分解。该观察引导了我们对正性的证明。其次，我们的伪矩值由森林上的和图式描述，其系数由这些森林偏序的 M"{o}bius 函数给出。这一联系引导了我们对伪矩满足超立方体约束的证明。我们将伪矩能同时满足超立方体与正性约束的原因，归结为多调和多项式与该 M"{o}bius 函数之间的组合关系。