半代数集的斯托克斯、吉布斯与体积计算
最优化与控制
2022-07-05 v2
摘要
我们考虑计算紧致基本半代数集的勒贝格体积的问题。在完全一般性下，它可以通过对某个无限维线性规划(LP)应用矩-SOS(平方和)方法得到的收敛的上界层级，按所需精度任意逼近。在每一步，求解该LP的半定松弛，其涉及直至某一度的伪矩。其对偶计算同度的多项式，该多项式从上方逼近集合的不连续指示函数，因此带有典型的吉布斯现象，导致相关数值格式收敛缓慢。通过在初始LP中引入由集合上积分的斯托克斯定理的某种应用所获得的附加线性矩约束，已观察到显著的改进。然而迄今为止尚无解释此行为的理论依据。我们提供了该扩展LP公式的精化版本。当集合为单个多项式的光滑超水平集时，我们证明该精化LP的对偶具有一个连续函数形式的最优解。因此在此对偶中，现以多项式逼近连续函数，从而无吉布斯现象，这解释并改进了已观测到的层级收敛的急剧加速。有趣的是，证明技术涉及泊松偏微分方程(PDE)的近期结果。
引用
@article{arxiv.2009.12139,
title = {Stokes, Gibbs and volume computation of semi-algebraic sets},
author = {Matteo Tacchi and Jean B Lasserre and Didier Henrion},
journal= {arXiv preprint arXiv:2009.12139},
year = {2022}
}