Grigoriev-Laurent 伪矩的谱

Grigoriev（2001）和 Laurent（2003）独立地证明了半定规划的平方和层次在层次度数至少为 $n$ 之前不能精确表示超立方体 $\{\pm 1\}^n$。Laurent 还观察到，其证明所构造的伪矩矩阵随着 $n$ 增大似乎具有惊人简单且递归结构的谱。尽管此后出现了若干关于 Grigoriev-Laurent 下界的新证明，Laurent 的观察一直未被证明。我们给出了下界的又一个表示论证明，同时也给出了 Grigoriev-Laurent 伪矩特征值的精确公式。利用这些公式，我们证明并详述了 Laurent 的观察。我们的论证有两个可能引起独立兴趣的特点。首先，我们表明 Grigoriev-Laurent 伪矩是 Bandeira 和 Kunisky（2020）提出的伪矩 Gram 矩阵构造的特例。其次，我们找到了对称群对应于两行杨图不可约表示的新实现，作为关于等边单纯形多重调和的多元多项式空间。