格与全实数域中的正半群

设$L$为$\mathbb R^d$中满秩格，记$L^+$为$L$中所有坐标非负的向量构成的半群。若$L$的一组基$X$包含于$L^+$中，则称其为正的。这样的基有无穷多个，每个基张成一个锥半群$S(X)$，由$X$中向量的所有非负整数线性组合构成。此类$S(X)$是$L^+$的子半群，我们研究$S(X)$在$L^+$中的间隙分布，即$L^+ \setminus S(X)$中的点。我们描述这些间隙的一些基本性质和计数估计。我们的主要焦点在$L^+$与$L^+ \setminus S(X)$的限制逐次极小上，为此我们给出类似于Minkowski逐次极小定理及其近期推广的界。我们应用这些结果得到全实数域中理想的全正子半群相对于Weil高度的逐次极小的类似界。