多重 Jacobi 流形：Jacobi 几何的维数化方法

线丛上微分算子形式的 Jacobi 流形标准表述，虽然能有效捕捉大多数相关的几何特征，但缺乏类似于 Poisson 代数被视为 Poisson 流形代数对应物的清晰代数解释。我们提出了一种基于作者近期开发的维数化代数技术的形式体系，将 Jacobi 流形的代数对应物捕捉为维数化 Poisson 代数。特别地，我们给出了函子 $\text{C}^\infty:\textsf{Smooth}\to \textsf{Ring}$ 针对线丛和 Jacobi 流形的推广，证明了 Jacobi 流形的余迷向约化为维数化 Poisson 代数的代数约化提供了一个实例，并讨论了 Jacobi 流形的乘积与其关联的维数化 Poisson 代数的张量积之间的关系。这些结果促使了多重线丛范畴的定义，即定义在同一底流形上的线丛集合，以及 Jacobi 结构向该语境中的相应推广，即所谓的多重 Jacobi 流形。我们给出了关于这些推广的一些初步结果，并讨论了未来的潜在研究方向。本研究一个有趣的成果是发现了几何力学与量纲分析之间某种令人惊讶的联系。这一点是由以下事实所暗示的：如果假设相空间为多重 Jacobi 流形，则可观测量——即实值函数的维数化类似物——带有与量纲分析中物理量通常代数相同的自然部分加法和全乘法结构。