双grading 空间上的泊松结构与 Koszul 双称性，I. 经典情形

设 $\mathbb R^{m|n}$ 为常规超空间。已知 $\mathbb R^{m|n}$ 上的代数函数构成 Koszul 代数，其 Koszul 双称代数然而并非 $\mathbb R^{n|m}$ 上的函数集，因为相应变量的反对称性。本文我们证明这两个代数同构于两个 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$-grading 空间上的代数函数。随后我们研究这两个空间的泊松结构，证明二次泊松结构在 Koszul 双称性下保持不变。基于此，我们获得两个同构的微积分结构，如果进一步这些泊松结构是 unimodular，则所涉及的两个 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$-grading 空间的泊松上同调上产生的 Batalin-Vilkovisky 代数结构也是同构的。