图复形中五边形轮上同调链导出的泊松括号对称性

Kontsevich 设计了一种方案来生成所有仿射流形 $M^r$ 上泊松括号 $\mathcal{P}$ 的无穷小对称性 $\dot{\mathcal{P}} = \mathcal{Q}(\mathcal{P})$；每一个这样的形变都由带 $n+2$ 个顶点和 $2n$ 条边的有向图编码。特别地，这些对称性可通过定向 $n$ 个顶点和 $2n-2$ 条边的非定向图 $\gamma$ 的求和获得。若 $\gamma$ 关于图复形中顶点展开微分为上闭链，则双向量流 $\dot{\mathcal{P}} = \text{Or}(\gamma)(\mathcal{P})$ 保持泊松结构空间。已知存在一类这样的上闭链 $\boldsymbol{\gamma}_{2\ell+1}$：由 $\ell \in \mathbb{N}$ 标记，每一个都包含一个系数为非零的 $(2\ell+1)$ 边形轮。当 $\ell=1$ 时，四面体 $\boldsymbol{\gamma}_3$ 自身是上闭链；当 $\ell=2$ 时，Kontsevich--Willwacher 五边形轮上闭链 $\boldsymbol{\gamma}_5$ 由两个图组成。我们重构了对称性 $\mathcal{Q}_5(\mathcal{P}) = \text{Or}(\boldsymbol{\gamma}_5)(\mathcal{P})$ 并验证 $\mathcal{Q}_5$ 确为泊松上闭链：$[\![\mathcal{P},\mathcal{Q}_5(\mathcal{P})]\!]\doteq 0$ 由 $[\![\mathcal{P},\mathcal{P}]\!]=0$ 得出。