Kontsevich 图作用于 Nambu-Poisson 括号，I. Jacobian 行列式的新恒等式

定义在 $R^d\ni x=(x^1,...,x^d)$ 上的 Nambu 行列式括号 $\{f,g\}_d(x)=\rho(x) \det(\partial(f,g,a_1,...,a_{d-2})/\partial(x^1,...,x^d))$（其中 $a_i\in C^\infty(R^d)$ 且 $\rho\partial_x\in\mathfrak{X}^d(R^d)$）是一类具有（非）线性系数的 Poisson 结构，例如任意高次多项式。利用图复形中良好的上闭链，Kontsevich 构造了对于仿射 $R^d_{aff}$ 上的所有 Poisson 双向量 $P$ 普适的元素 $\dot{P}=Q^\gamma(P)\in H^2_{P}(R^d_{aff})$，其属于 Lichnerowicz-Poisson 第二上同调群；我们指出已知的图上闭链 $\gamma$ 保持 Nambu-Poisson 类 $\{P(\rho,a)\}$，并且我们直接从 $\gamma$ 表达了诱导 $\dot{P}$ 的演化 $\dot{\rho}$、$\dot{a}$。在所有 $d\geq2$ 上，不存在使得双向量上闭链 $Q^\gamma_d$ 平凡化（即 $Q^\gamma_d=[\![P,\vec{X}^\gamma_d(P)]\!]$）的普适机制，这里的向量场应由相同的图公式对所有维度 $d$ 统一定义。虽然在 $R^2$ 上，对于 $\gamma\in\{\gamma_3,\gamma_5,\gamma_7,...\}$ 的图流 $\dot{P} = Q^{\gamma_i}_{2D}(P(\rho))$ 被具有特殊形状的向量场 $\vec{X}^{\gamma_i}_{2D}=(dx\wedge dy)^{-1}d_{dR}(Ham^{\gamma_i}(P))$ 平凡化，但我们发现在 $d\geq3$ 时，来自 2D 的 1-向量（现在内部包含 $P(\rho,a_1,...,a_{d-2})$）并不能解决问题 $Q^{\gamma_i}_{d\geq3}=[\![P,{\vec{X}^{\gamma_i}_{d\geq3}}(P(\rho,a))]\!]$，但它们确实提供了良好的 Ansatz，使我们找到了解 $\vec{X}^{\gamma_i}_{d=3,4}(P(\rho,a))$。在研究 $d\mapsto d+1$ 这一步时，通过将 Kontsevich 图演算适应于 Nambu-Poisson 括号类，我们发现了 $P(\rho,a)$ 内部 Jacobian 行列式的更多恒等式，即 $R^d_{aff}$ 上多向量取值的 $GL(d)$ 不变量。