仅具对数光滑性的 Besov 空间 $B^{0,b}_{p,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 的点态乘子

在本文中，我们在特殊情形 $p=1$ 与 $p=\infty$ 下，对仅具对数光滑性 $b\in\mathbb{R}$ 的 Besov 空间 $B^{0,b}_{p,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 的所有点态乘子集合 $M(B^{0,b}_{p,\infty}(\mathbb{R}^n))$ 给出了刻画。作为这两个刻画的应用，我们分别澄清了三个具体例子——开集的特征函数、由差分定义的连续函数以及函数 $e^{ik\cdot x}$（其中 $k\in\mathbb{Z}^n$、$x\in\mathbb{R}^n$）是否为 $B^{0,b}_{1,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 与 $B^{0,b}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 的点态乘子；此外，我们得到了 $\|e^{ik \cdot x}\|_{M(B^{0,b}_{1,\infty}(\mathbb{R}^n))}$ 与 $\|e^{ik \cdot x}\|_{M(B^{0,b}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^n))}$ 的显式估计。在 $p\in(1,\infty)$ 的情形，我们给出了 $B^{0,b}_{p,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 点态乘子的一些充分条件与一些必要条件，而 $M(B^{0,b}_{p,\infty}(\mathbb{R}^n))$ 的完整刻画仍然开放。然而，通过一种不同的方法，我们在该情形下仍能够精确计算 $\|e^{ik \cdot x}\|_{M(B^{0,b}_{p,\infty}(\mathbb{R}^n))}$（$k\in\mathbb{Z}^n$）。本文的新颖之处在于，大多数证明是构造性的，且这些构造强烈依赖于所考虑 Besov 空间的对数结构。