贝塞尔位势空间中的乘子:光滑指标异号的情形

本文旨在刻画从贝塞尔位势空间 $H^s_p(\mathbb R^n)$ 到另一空间 $H^{-t}_q(\mathbb R^n)$ 作用的乘子空间,前提是这些空间的光滑指标异号,即 $s, t \geqslant 0$。该乘子空间由分布 $u$ 组成,使得对所有 $\varphi \in H^s_p(\mathbb R^n)$,乘积 $\varphi \cdot u$ 良定义且属于空间 $H^{-t}_q(\mathbb R^n)$。在 $p \leqslant q$ 且下列条件之一 $$s \geqslant t \geqslant 0, \ s > n/p \ \, \text{or} \ \, t \geqslant s \geqslant 0, \ t > n/q' \quad (\: \text{其中} \; 1/q +1/q' = 1),$$ 成立时,我们成功地显式刻画了该空间。此时有 $$M[H^s_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-t}_{q}(\mathbb{R}^n)] = H^{-t}_{q, \: unif}(\mathbb{R}^n) \cap H^{-s}_{p', \: unif}(\mathbb{R}^n),$$ 其中 $H^\gamma_{r, \: unif}(\mathbb{R}^n), \: \gamma \in \mathbb{R}, \: r > 1$ 是一致局部化贝塞尔位势空间尺度。在特别重要但特殊的情形 $s = t < n/\max (p,q')$ 下,我们证明双侧连续嵌入 $$H^{-s}_{r_1, \: unif}(\mathbb{R}^n) \subset M[H^s_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-s}_q(\mathbb{R}^n)] \subset H^{-s}_{r_2, \: unif}(\mathbb{R}^n),$$ 其中 $r_2 = \max (p', q), \ r_1 =[s/n-(1/p -1/q)]^{-1}$。