$\mathcal{B}(L^p,L^q)$ 上的 Schur 乘子

设 $(\Omega_1, \mathcal{F}_1, \mu_1)$ 和 $(\Omega_2, \mathcal{F}_2, \mu_2)$ 为两个测度空间，并设 $1 \leq p,q \leq +\infty$。我们给出了 $\mathcal{B}(L^p(\Omega_1), L^q(\Omega_2))$ 上 Schur 乘子的定义，该定义推广了 $\mathcal{B}(\ell_p,\ell_q)$ 上经典 Schur 乘子的定义。我们的主要结果是在 $1\leq q \leq p \leq +\infty$ 情形下对 Schur 乘子的刻画。当 $1 < q \leq p < +\infty$ 时，$\phi \in L^{\infty}(\Omega_1 \times \Omega_2)$ 是 $\mathcal{B}(L^p(\Omega_1), L^q(\Omega_2))$ 上的 Schur 乘子当且仅当存在一个测度空间（当 $p\neq q$ 时为一个概率空间）$(\Omega,\mu)$，$a\in L^{\infty}(\mu_1, L^{p}(\mu))$ 和 $b\in L^{\infty}(\mu_2, L^{q'}(\mu))$，使得对几乎所有的 $(s,t) \in \Omega_1 \times \Omega_2$，有 $$\phi(s,t)=\left\langle a(s), b(t) \right\rangle.$$ 这里，$L^{\infty}(\mu_1, L^{r}(\mu))$ 表示取值于 $L^r(\mu)$ 的 $\Omega_1$ 上的 Bochner 空间。这一结果即使在经典情形下也是新的。作为推论，我们给出了 $\mathcal{B}(\ell_p,\ell_q)$ 上 Schur 乘子空间之间新的包含关系。