二阶差分函数Schur乘子最佳常数的研究

我们给出了一种关于二阶差分函数双线性Schur乘子有界性的新证明，Potapov、Skripka和Sukochev此前已据此证明了Koplienko关于更高阶光谱位移函数存在性的猜想。我们的证明基于最近涉及双线性传递和H"ormander-Mikhlin-Schur乘子定理的方法。我们的做法显著细化了已知二阶差分函数双线性Schur乘子的渐近界限。此外，我们给出了这些双线性Schur乘子的新下界，为Coine、Le Merdy、Potapov、Sukochev和Tomskova所知最佳界限提供了根本性的改进。更准确地说，我们证明，对$f \in C^2(\mathbb{R})$且$1 < p, p_1, p_2 < \infty$满足$\frac{1}{p} = \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2}$时，有$$\Vert M_{f^{[2]}}: S_{p_1} \times S_{p_2} \rightarrow S_p \Vert \lesssim \Vert f'' \Vert_\infty D(p, p_1, p_2),$$其中常数$D(p, p_1, p_2)$详见第7.1节，且$D(p, 2p, 2p) \approx p^4 p^\ast$，其中$p^\ast$为$p$的H"older共轭。我们进一步证明，对$f(\lambda) = \lambda \vert \lambda \vert$, $\lambda \in \mathbb{R}$，对每一个$1 < p < \infty$都有$$p^2 p^\ast \lesssim \Vert M_{f^{[2]}}: S_{2p} \times S_{2p} \rightarrow S_p \Vert.$$此处$f^{[2]}$为$f$的二阶差分函数，$M_{f^{[2]}}$为其关联的Schur乘子。特别是可见，我们的估计$D(p, 2p, 2p)$在$p \searrow 1$时是最佳的。