关于p-群Schur乘子阶的一个注记

设$G$是一个阶为$p^n$的有限$p$-群，且$|G'| = p^k$。令$M(G)$表示$G$的Schur乘子。Green的一个经典结果指出$|M(G)| \leq p^{\frac{1}{2}n(n-1)}$。2009年，Niroomand改进了Green及其他关于非交换$p$-群$G$的$|M(G)|$的界，证明了$|M(G)| \leq p^{\frac{1}{2}(n-k-1)(n+k-2)+1}$。本文中我们注意到，Ellis和Weigold早先得到的一个界比Niroomand的界更具一般性。我们从Ellis和Weigold的界推导出，对于非交换$p$-群$G$，有$|M(G)| \leq p^{\frac{1}{2}(d(G)-1)(n+k-2)+1}$。此外，我们加强了Ellis和Weigold的界，并由此推导出：若$G^{ab}$不是同循环的，则$|M(G)| \leq p^{\frac{1}{2}(d(G)-1)(n+k-3)+1}$。我们进一步注意到Vermani给出的一个旧界的改进。最后，对于余类为$r$的$p$-群，我们指出$|M(G)| \leq p^{\frac{1}{2}(r^2-r)+kr+1}$。这改进了Moravec的一个界。