具有最大阶 Schur 乘子的有限 $p$-群

设 $G$ 为阶为 $p^n$ 的非交换 $p$-群，$M(G)$ 表示 $G$ 的 Schur 乘子。Niroomand 证明了对于导群阶为 $p^k$ 且阶为 $p^n$ 的非交换 $p$-群 $G$，有 $|M(G)| \leq p^{\frac{1}{2}(n+k-2)(n-k-1)+1}$。最近，Rai 对 $|M(G)|$ 达到此界的幂零类为 2 的 $p$-群 $G$ 进行了分类。在本文中，我们证明了对于 $p\neq3$，不存在幂零类 $c \geq 3$ 且 $|M(G)|$ 达到此界的有限 $p$-群 $G$。因此，对于 $p \neq 3$ 且类 $c \geq 3$ 的 $p$-群 $G$，有 $|M(G)| \leq p^{\frac{1}{2}(n+k-2)(n-k-1)}$。我们还构造了一个 $p=3$ 的 $p$-群 $G$，使得 $|M(G)|$ 达到 Niroomand 界。