Schur指数猜想 II

Primoz Moravec于2007年发表了一篇非常重要的论文，其中他证明：若 $G$ 是指数为 $n$ 的有限群，则 $G$ 的Schur乘子的指数可由仅依赖于 $n$ 的函数 $f(n)$ 界定。Moravec未给出 $f(n)$ 的值，但实际上他的证明表明我们可取 $f(n)=ne$，其中 $e$ 是 $b^{-n}a^{-n}(ab)^{n}$ 在 $R(2,n)$ 的Schur乘子中的阶。（此处 $R(2,n)$ 是指数为 $n$ 的最大有限双生成群，我们取 $a,b$ 为 $R(2,n)$ 的生成元。）易手算表明对 $n=2,3$ 有 $e=n$，且利用 $p$-商算法可直接计算表明对 $n=4,5,7$ 有 $e=n$。群 $R(2,8)$ 与 $R(2,9)$ 即便用现代超级计算机也远超 $p$-商算法能力范围。但我们能够证明对 $n=8,9$ 有 $e\geq n$。Moravec的证明还表明，若 $G$ 是指数为 $n$、幂零类为 $c$ 的有限群，则 $G$ 的Schur乘子的指数以 $ne$ 为界，其中 $e$ 是 $b^{-n}a^{-n}(ab)^{n}$ 在 $R(2,n)$ 的幂零类 $c$ 商 $R(2,n;c)$ 的Schur乘子中的阶。若 $q$ 为素数幂，令 $e_{q,c}$ 为 $b^{-q}a^{-q}(ab)^{q}$ 在 $R(2,q;c)$ 的Schur乘子中的阶。我们能够证明对所有素数幂 $p^{k}$ 有 $e_{p^{k},p^{2}-p-1}$ 整除 $p$。若 $k>2$，则对 $c<4$ 有 $e_{2^{k},c}=2$，对 $4\leq c\leq11$ 有 $e_{2^{k},c}=4$，对 $c=12$ 有 $e_{2^{k},c}=8$。若 $k>1$，则对 $c<3$ 有 $e_{3^{k},c}=1$，对 $3\leq c<12$ 有 $e_{3^{k},c}=3$，对 $c=12$ 有 $e_{3^{k},c}=9$。我们还研究了 $[b,a]$ 在 $R(2,q;c)$ 的Schur覆盖中的阶。