论 Besov 函数的限制

本文研究 Besov 函数限制的光滑性。已知对于任意 $f\in B_{p,q}^s(\mathbb{R}^N)$ 且 $q\leq p$，对几乎处处 $y\in \mathbb{R}^{N-d}$ 有 $f(\cdot,y)\in B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$。我们证明当 $p<q$ 时该结论不再成立。即，我们构造一个函数 $f\in B_{p,q}^s(\mathbb{R}^N)$，使得对几乎处处 $y\in \mathbb{R}^{N-d}$ 有 $f(\cdot,y)\notin B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$。我们证明，事实上，对几乎处处 $y\in\mathbb{R}^{N-d}$，$f(\cdot,y)$ 属于广义光滑 Besov 空间 $B_{p,q}^{(s,\Psi)}(\mathbb{R}^d)$，并且当 $q=\infty$ 时，我们找到了使此成立的函数 $\Psi$ 的最优条件。本文还研究了这些结果向广义光滑 Besov 空间的自然推广。