Besov 函数的限制有多光滑？

在先前的工作中，我们证明了 Besov 空间不具有限制性质，除非 $q\leq p$。具体来说，我们证明了如果 $p<q$，则总可以构造一个函数 $f\in B_{p,q}^s(\mathbb{R}^N)$，使得对于几乎处处的 $y\in \mathbb{R}^{N-d}$，有 $f(\cdot,y)\notin B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$，而当 $q\leq p$ 时这种“病态”现象不会发生。我们证明了，只要函数 $\Psi$ 满足一个涉及 $p$ 和 $q$ 的简单可和性条件，部分映射实际上属于广义光滑性 Besov 空间 $B_{p,q}^{(s,\Psi)}(\mathbb{R}^d)$。这篇短注记通过证明这一刻画是精确的，从而完善了整个图景。