基于函数连接理论的 Poincaré 图

Poincaré 图在非线性动力学和混沌理论中发挥着基本作用，通过跟踪轨迹与低维截面表面相交来降低连续动力学系统的维数。传统方法通常依赖数值积分和插值来检测这些交点，可能导致不准确和计算效率低下。本文提出了一种基于函数连接理论（Theory of Functional Connections, TFC）构建 Poincaré 图的新方法。TFC 产生的受约束函数提供了系统轨迹的连续可微表示，精确满足规定约束。将 Poincaré 图计算形式化为初始值问题（IVP）或边界值问题（BVP）。对于 IVP，初始条件嵌入函数中，确定与指定截面表面的交叉时间。我们演示了对 Taylor 级数的线性收敛，从而实现准确插值，而无需数值积分或外部优化。对于 BVP，编码周期条件以识别三体问题中的周期轨道。此外，通过强制周期约束，我们展示了如何构建第一重现图。该方法也推广到非自主系统，通过对四体问题的应用进行演示。该方法在保持适度计算 effort 的同时实现机器水平精度，无需变量变换或带有自适应步长的迭代积分方案。结果表明，TFC 提供了一种强大且高效的替代框架，用于构建 Poincaré 图、计算周期轨道和分析复杂动力学系统，特别是在天体力学情境中。