深度泛函连接理论：一种估计偏微分方程解的新方法

本文提出一种称为深度泛函连接理论（TFC）的新方法，通过将神经网络与 TFC 结合来估计偏微分方程（PDEs）的解。TFC 通过将边界条件嵌入“约束表达式”中，将带边界条件的 PDE 转化为无约束优化问题。本工作中，选择神经网络作为自由函数，并用于求解该无约束优化问题。损失函数取为 PDE 残差的平方。随后，以无监督方式训练神经网络求解无约束优化问题。与流行的 PDE 解估计方法相比，该方法有两个主要不同。首先，该方法不需要将域离散化为网格，而是在训练阶段从域中随机采样点。其次，训练后，该方法在整个训练域上表示解的闭式、解析、可微的近似。相比之下，其他流行方法若需要在非离散网格点上获得估计解则要求插值。深度 TFC 估计 PDE 解的方法在四个具有不同边界条件的问题上进行了演示。