Gated X-TFC：锐化梯度偏微分方程中前向与逆向问题的软域分解方法
机器学习
2026-02-17 v1
摘要
物理信息神经网络（PINNs）及其相关方法在不采用某种形式的域分解情况下难以解决奇异扰动边界值问题中的锐化梯度，这种域分解常常会引入复杂的界面惩罚项。虽然 X-TFC（Extreme Theory of Functional Connections）通过采用严格的边界条件实现，避免了多目标优化问题，但它在边界层和与分解兼容性方面仍然计算效率低下。我们提出了 Gated X-TFC，一种用于前向和逆向问题的新框架，通过软、学习型域分解来克服上述局限性。该方法以可微的 logistic 门取代硬性界面，动态调整域内径向基函数（RBF）核宽度，从而无需界面惩罚。该方法不仅在准确性上取得优越性能，而且在计算效率上实现了显著提升：在基准的一维（1D）对流-扩散问题上，Gated X-TFC 相比标准 X-TFC 实现了数量级更低的误差，同时使用了 80% 更少的样本点，并将训练时间缩短了 66%。此外，我们引入了一个算子条件/meta 学习层，从 PDE 参数到最优门配置之间学习概率映射，实现对新问题实例的快速、无不确定性感知的热启动。我们进一步通过求解一个双边界层方程和一个带锐化高斯源的 2D 泊松问题，展示了该方法在多个子域和高维情况下的可扩展性。总体而言，Gated X-TFC 提供了一个简单可行的 PINNs 替代方案，对于具有挑战性边界层情形的问题既准确又高效。未来工作将聚焦于非线性问题。
引用
@article{arxiv.2510.01039,
title = {Gated X-TFC: Soft Domain Decomposition for Forward and Inverse Problems in Sharp-Gradient PDEs},
author = {Vikas Dwivedi and Enrico Schiassi and Monica Sigovan and Bruno Sixou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2510.01039},
year = {2026}
}