Fourier PINNs：从强边界条件到自适应傅里叶基

对物理信息神经网络 (PINN) 的兴趣日益增长，作为求解偏微分方程 (PDE) 的无网格替代方案。然而，PINN 常常难以学习高频和多尺度目标解。为解决此问题，我们首先研究了针对 Dirichlet 边界条件的强边界条件版本的 PINN，观察到其相对误差相较于标准 PINN 呈现一致性下降。随后，我们基于傅里叶变换和卷积定理进行理论分析。我们发现，强边界条件 PINN 能更好地学习目标解高频分量的�幅。然而，对于许多边界条件和域几何，构建强边界条件 PINN 的架构较为困难。深受我们理论分析的启发，我们提出了 Fourier PINNs——一种简单、通用且高效的方法，通过添加预指定的稠密傅里叶基来增强 PINN。我们提出的架构同样能更好地学习高频分量，却不对特定边界条件或问题域作出限制。我们发展了一种自适应学习和基选择算法，通过交替神经网络基优化、傅里叶和神经网络基系数估计以及系数截断来实现。该方案能够灵活识别显著频率，同时削弱原名频率，以更好地捕获目标解的功率谱。我们通过一组系统实验展示了该方法的优势。