广义散射振幅中的平面性：PK 多胞体、广义根系与世界面结合体

本文通过组合学、代数与热带几何中若干紧密关联的结构，研究平面性在广义散射振幅中的作用。Cachazo-Early-Guevara-Mizera（CEGM）近期引入的广义双伴随标量振幅，是 $\binom{n}{k}-n$ 个独立变量中齐次度数为 $-(k-1)(n-k-1)$ 的有理函数；其极点可直接由正热带 Grassmann 流形的射线构造。我们对每个满足 $2\le k\le n-2$ 的整数对 $(k,n)$ 引入一个广义正根系，它作为运动学不变量的平面基的特化而出现。我们通过旗单模三角剖分为单形（与 $k$ 元子集的非交叉集合一一对应）证明了高维根多胞体 $\mathcal{R}^{(k)}_{n-k}$ 的体积为 k 维 Catalan 数 $C^{(k)}_{n-k}$。我们还给出了超单形 $\Delta_{3,n}$ 的某种称为三脚架的 positroidal 细分与未弱分离的三元子集非交叉对之间的双射。我们证明了 Cachazo 与作者近期引入的平面运动学（PK）多胞体的面恰好是 $\binom{n}{k}-n$ 个广义正根。我们证明广义双伴随振幅的 PK 特化求值为 $C^{(k)}_{n-k}$。展望将来，我们利用非交叉集合的相容度概念，通过 $(\mathbb{CP}^{n-k-1})^{\times (k-1)}$ 给出两参数广义世界面结合体 $\mathcal{W}^+_{k,n}$ 族的定义方程并猜想其显式解。当 $k=2$ 时，这些特化为 $\mathbb{CP}^{1}$ 中 $n$ 个不同点构型空间 $M_{0,n}$ 的某种二面体不变部分紧化。全文给出许多详细例子以启发未来工作。