自相似高斯过程的 Pickands-Piterbarg 常数

对于中心自相似高斯过程 $\{Y(t):t\in[0,\infty)\}$ 与 $R\ge0$，我们分析 $$\mathcal{H}_Y^R(T) \; = \; \mathbf{E} \exp \left( \sup_{t \in [0,T]} \sqrt{2} Y(t) - (1+R) \sigma_Y^2(t) \right),$$ 当 $T\to\infty$ 时的渐近行为。我们证明对 $R>0$ 有 $\mathcal{H}_Y^R=\lim_{T\to\infty} \mathcal{H}_Y^R(T)\in(0,\infty)$，且对适当选取的 $\gamma>0$ 有 $$\mathcal{H}_Y=\lim_{T\to\infty} \frac{\mathcal{H}_Y^0(T)}{T^\gamma}\in(0,\infty).$$ 此外，我们给出 $\mathcal{H}_Y^R$（$R>0$）的界，以及 $\mathcal{H}_Y$ 与经典 Pickands 常数之间一个令人惊讶的关系。