Hermite 驱动长记忆滑动平均过程的二次泛函的非中心极限定理

令 $(Z_t^{(q, H)})_{t \geq 0}$ 表示阶数 $q \geq 1$ 且自相似参数 $H \in (\frac{1}{2}, 1)$ 的 Hermite 过程。考虑 Hermite 驱动的滑动平均过程 $$X_t^{(q, H)} = \int_0^t x(t-u) dZ^{(q, H)}(u), \qquad t \geq 0.$$ 在 $x(u) = e^{-\theta u}, \theta > 0$ 的特殊情形下，$X$ 是阶数 $q$ 的非平稳 Hermite Ornstein-Uhlenbeck 过程。在对核 $x$ 的适当可积性条件下，我们证明当 $T \to \infty$ 时，归一化二次泛函 $$G_T^{(q, H)}(t)=\frac{1}{T^{2H_0 - 1}}\int_0^{Tt}\Big(\big(X_s^{(q, H)}\big)^2 - E\Big[\big(X_s^{(q, H)}\big)^2\Big]\Big) ds , \qquad t \geq 0,$$ 其中 $H_0 = 1 + (H-1)/q$，在有限维分布意义下收敛到参数为 $H' = 1 + (2H-2)/q$ 的 Rosenblatt 过程（相差一个乘法常数），且只要 $q \geq 2$ 就与自相似参数无关。在高斯情形 $(q=1)$ 下，我们的结果补充了 Nourdin \textit{et al} 在 arXiv:1502.03369 中开始的研究，其中根据自相似参数取值可能出现中心或非中心极限定理。我们分析中的一个关键是将经典多重 Wiener-It\^{o} 积分与关于随机谱测度的积分之间的联系（由 Taqqu (1979) 开创）进行了推广，这本身可能具有独立意义。