长记忆离散 $k$ 阶 Volterra 过程的收敛性

我们获得了一类称为 $k$ 阶 Volterra 过程的非线性离散时间过程 $X(n)$ 的极限定理。这些是移动平均 $k$ 阶多项式形式：$$X(n)=\sum_{0<i_1,\ldots,i_k<\infty}a(i_1,\ldots,i_k)\epsilon_{n-i_1}\ldots\epsilon_{n-i_k},$$ 其中 $\{\epsilon_i\}$ 是独立同分布的，满足 $\mathbb{E} \epsilon_i=0$，$\mathbb{E} \epsilon_i^2=1$，$a(\cdot)$ 是非随机系数，且求和中包含对角线项。我们指定了 $X(n)$ 在 $L^2(\Omega)$ 中良定义的条件，并重点关注中心极限定理和非中心极限定理。我们证明，如果 $a(\cdot)$ 衰减得足够快使得 $X(n)$ 具有短记忆，则去中心化 $X(n)$ 的归一化部分和服从中心极限定理。另一方面，如果 $a(\cdot)$ 渐近表现为某种缓慢衰减的齐次函数使得 $X(n)$ 具有长记忆，我们证明了一个非中心极限定理。在非中心情形下，极限是不同阶数的 Hermite 型过程的线性组合。该线性组合可以表示为中心化的多重 Wiener-Stratonovich 积分。