关于Pickands常数的连续性

对于满足某些温和假设的非负可分随机场 $Z(t), t\in \mathbb{R}^d$，我们证明 \begin{eqnarray*} H_Z^\delta = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T^d} E \{\sup_{ t\in [0,T]^d \cap \delta \mathbb{Z}^d } Z(t) \} <\infty \end{eqnarray*} 对 $\delta \ge 0$ 成立，其中 $0 \mathbb{Z}^d := \mathbb{R}^d$，并证明当 $\delta$ 趋于0时 $H_Z^0$ 可由 $H_Z^\delta$ 逼近。这些结果推广了关于Pickands常数 $H_{Z}^\delta$ 的经典结论，该常数定义为 $Z(t)= \exp\left( \sqrt{ 2} B_\alpha (t)- |t|^{2\alpha }\right), t\in \mathbb{R}$，其中 $B_\alpha$ 为赫斯特参数 $\alpha \in (0,1]$ 的标准分数布朗运动。此外，对Pickands常数的两种特定推广，证明了 $H_{Z}^\delta$ 在 $\delta=0$ 处的连续性。