Pickands 常数在布朗运动附近展开的一阶项

在高斯过程的极值理论中，许多结果用 Pickands 常数 $\mathcal{H}_{\alpha}$ 表示。该常数取决于过程的局部自相似指数 $\alpha$，即在局部它是 Hurst 指数为 $H=\alpha/2$ 的分数布朗运动。尽管很重要，但目前仅知道 Pickands 常数的两个值：${\cal H}_1 =1$ 和 ${\cal H}_2=1/\sqrt{\pi}$。在此，我们将最近的微扰方法扩展到分数布朗运动以包含漂移项。这使我们能够研究标准布朗运动（$\alpha =1$）附近的 Pickands 常数 $\mathcal{H}_{\alpha}$，并推导出新的精确结果 $\mathcal{H}_{\alpha}=1 - (\alpha-1) \gamma_{\rm E} + \mathcal{O}\!\left( \alpha-1\right)^{2}$。