Painlevé VI 方程的 Picard 与 Chazy 解

我研究一类特殊的 Painlevé VI 方程族的解，其参数为 $\beta=\gamma=0, \delta=1/2$ 且 $2\alpha=(2\mu-1)^2$，其中 $2\mu\in\interi$。我证明半整数 $\mu$ 的情形是可积的，且解分为两类：所谓的 Picard 解与所谓的 Chazy 解。我给出它们的显式公式，并完全确定它们在奇点 $0,1,\infty$ 附近的渐近行为及其非线性单值性。我研究了对任意满足 $2\mu\in\interi$ 的 $\mu$，PVI$\mu$ 方程解的分析延拓结构。作为一个应用，我对所有代数解进行了分类。对半整数 $\mu$，我证明它们与平面中的正多边形或星状多边形一一对应。对整数 $\mu$，我证明所有代数解均属于一个单参数有理解族。