Markov 与 Lagrange 动力谱上的相变

Markov 与 Lagrange 动力谱由 Moreira 引入，并与经典谱共享若干几何与拓扑性质。然而，与双曲集相关的泛动力谱的某些特征可在动力情形下被证明，而我们不知其在经典情形下是否成立。它们可作为关于经典谱的自然猜想的良好来源：自然可猜想，对与双曲映射相关的泛动力谱成立的一些性质，对经典 Markov 与 Lagrange 谱也成立。在本文中，我们证明，对于与马蹄相关的泛动力谱，谱中存在一个转变点 a，使得对任意 $\delta > 0$，谱与 $(a-\delta; a)$ 的交是 Hausdorff 维数小于 1 的 Cantor 集的可数并，而谱与 $(a; a + \delta)$ 的交具有非空内部。对经典 Markov 与 Lagrange 谱而言这仍属开问题。